Fondamenti della meccanica atomica
dove cn è una costante arbitraria: sostituendo nella (22) si ha
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dove si è incorporato il fattore 2i nella costante arbitraria Cn. La condizione di normalizzazione ci dà poi
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(dove [simbolo eliminato] è una costante rispetto ad x); ovvero, raccogliendo le due formule in una col porre per la prima ed per la seconda,
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tenendo conto del valore sopra riportato dell'integrale, si vede che la costante di normalizzazione αλ va allora presa in modo che sia
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Esempio: gruppo d'onde di ampiezza costante. - Applichiamo le considerazioni precedenti al caso che la distribuzione iniziale della f sia quella
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costante (perchè x ed ydevono poter variare indipendentemente): si hanno così due equazioni a derivate ordinarie per le due funzioni X ed Y. Così il
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e, tralasciando la costante e notando che
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con K costante arbitraria. La (118) diviene allora,
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fattore della forma la detta costante moltiplicativa arbitraria. L'arbitrarietà che rimane nell'argomento della a causa della costante arbitraria non ha
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con k costante: essa è l'equazione studiata nel § 8 ed ha per integrale generale
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dove è una costante di normalizzazione che verrà fissata in seguito, e ha un significato analogo al c(E) della (133'), cioè:
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(1) La costante arbitraria di modulo 1, per cui potrebbe essere moltiplicata , e quindi , non influisce sulle probabilità e quindi non ha importanza.
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la costante
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dove si è abbreviata con la costante
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(dove è un fattore costante di normalizzazione) e quindi, per la (185), una u data da
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dove è una costante.
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determinando poi la costante in modo che risulti
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(con h costante), si arrivava alla formula
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cioè una costante: la u dunque in tal caso dipende solo da r (simmetria sferica).
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è utile rilevare che la costante così definita è uguale al raggio della prima delle orbite circolari fornite dalla teoria di Bohr ( [numero eliminato
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, entrava nella Fisica una nuova costante universale, h, detta costante di Planck, la cui importanza si è poi rivelata sempre maggiore in categorie
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dove è la costante di Planck, e è una costante caratteristica del metallo in esame. Per i valori di v che renderebbero negativo il secondo membro
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L'ultima, essendo costante, ci dà subito
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: esso è quindi costante, mancando le forze esterne.
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Siccome poi p è costante, si ricava di qui
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dove si è posto (in analogia con la espressione della costante di Rydberg data al § 16, p. I):
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ovvero, ricordando l'espressione trovata al § 16, p. I per la costante di Rydberg, ed introducendo la costante (2) Questa quantità, che interviene
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(1) In questo ordine di considerazioni, uno scalare significa una quantità costante (rispetto a ).
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Si osservi anche che, se c è una costante
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d) Il simbolo (con costante) è un operatore che muta ogni funzione integrabile f nella funzione
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dove c è una costante ed f una funzione qualunque. Per esempio, tra gli operatori citati sopra, sono lineari gli operatori , mentre non sono lineari
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Esempio. – Prendiamo come l'o. l. è una costante), e definiamo l'o. l. ossia . Poichè la funzione è definita dalla serie
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La moltiplicazione di una matrice per una costante k si esegue moltiplicando ogni elemento della matrice per k: anche questo risulta immediatamente
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dove A è una costante moltiplicativa, da determinarsi.
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Questa formula si può trasformare, poichè dalla (114) si ha che : inoltre essendo e una costante, si ha
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Per trovare i livelli energetici, non resta che da determinare la costante della (162): ciò si fa immediatamente particolarizzando la (157) per j = k
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dove R è la costante precedente, ed n', n sono due numeri interi. Facendo n'=1, ed n= 2, 3, 4... si hanno le frequenze della serie di Lyman:
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Da ciascuno dei sistemi (185) si hanno poi, a meno di un fattore costante, le il detto fattore si determina imponendo la condizione
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(1) Essa corrisponde all'arbitrarietà della costante nell' argomento della rilevata a pag. 166.
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dove K è un'altra costante caratteristica di ciascuna successione.
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dove R è la costante di Rydberg ed a un'altra costante: tenendo fissa a e dando ad n tutti i valori interi da un certo valore in poi, si ottiene una
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Se ora supponiamo il campo magnetico diretto secondo l'asse z, e risolviamo il sistema (249) (determinando la costante di normalizzazione in modo che
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il modulo della costante A si determinerà con la condizione di normalizzazione (v. § 10, p. II).
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e inoltre introduciamo la costante della struttura fina : le (340) allora si scrivono
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Conviene allora introdurre, in luogo di e , una sola costante , ponendo
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Costante dielettrica
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dove a è una costante. Ora, se si osserva che la velocità v è legata alla tensione acceleratrice V dalla legge della forza viva che è (per velocità
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Identificando la (38') con la relazione sperimentale (39), si ricava per la costante a il valore
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Tale condizione può essere sempre soddisfatta, perchè, detta Y(x) una autofunzione che non la soddisfi, basta dividere questa per la costante non
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significa che tutte le altre soluzioni corrispondenti a quell'autovalore si ottengono da questa moltiplicandola per una costante: se perciò si aggiunge
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Accademia della crusca
